Из вашего вопроса я понимаю, что ссылка возвращает тот же путь на карте.Таким образом, чтобы получить различные пути в карте, попробуйте ниже код
render(){
const names = ['Home', 'About', 'Contact'];
const nameItems = names.map((name, index) => {
let url = "/";
if( name == "Home"){
url = "/";
}else{
url = name.toLowerCase();
}
return <li key={ index }><Link to={url}>{name}</Link></li>;
})}
return(
<Router>
<div>
<ul>
{nameItems}
</ul>
<hr/>
<Route exact path="/" component={Home}/>
<Route path="/about" component={About}/>
<Route path="/contact" component={Contact}/>
</div>
</Router>
)
}