В Internet Explorer 7 и более ранних версиях это можно было сделать с помощью
document.setHomePage("http://www.mywebsite.com/");
Однако это невозможно в более поздней версии (поскольку это считается угрозой безопасности) и никогда не было возможно в других браузерах, таких как Firefox.
Лучший запасной вариант - на самом деле проинструктировать пользователя, как изменить домашнюю страницу, а не программно пытаться сделать это.
В Firefox (я не уверен в других браузерах) пользователь может перетащить ссылку и поместить ее на кнопку «Домой», тем самым (после подтверждения) изменив начальную страницу. Вы можете использовать это, указав пользователю перетащить изображение (которое находится внутри тега привязки, ссылающегося на ваш сайт) и перетащить его на кнопку «Домой».