Схема рекурсии для символического дифференцирования - PullRequest
Новая
       50

Схема рекурсии для символического дифференцирования

0 голосов
/ 22 мая 2018

Следуя терминологии из этой превосходной серии , давайте представим такое выражение, как (1 + x^2 - 3x)^3 через Term Expr, где типы данных следующие: 

data Expr a =
    Var
  | Const Int
  | Plus a a
  | Mul a a
  | Pow a Int
  deriving (Functor, Show, Eq)

data Term f = In { out :: f (Term f) }

Есть лисхема рекурсии, подходящая для выполнения символьного дифференцирования?Я чувствую, что это почти футуморфизм, специализированный на Term Expr, то есть futu deriveFutu для соответствующей функции deriveFutu: 

data CoAttr f a  
  = Automatic a
  | Manual (f (CoAttr f a))

futu :: Functor f => (a -> f (CoAttr f a)) -> a -> Term f  
futu f = In <<< fmap worker <<< f where  
    worker (Automatic a) = futu f a
    worker (Manual g) = In (fmap worker g)

Это выглядит довольно хорошо, за исключением того, что вместо подчеркнутых переменных Term sиз CoAttr s: 

deriveFutu :: Term Expr -> Expr (CoAttr Expr (Term Expr))
deriveFutu (In (Var))      = (Const 1)
deriveFutu (In (Const _))  = (Const 0)
deriveFutu (In (Plus x y)) = (Plus (Automatic x) (Automatic y))
deriveFutu (In (Mul x y))  = (Plus (Manual (Mul (Automatic x) (Manual _y)))
                                   (Manual (Mul (Manual _x) (Automatic y)))
                             )
deriveFutu (In (Pow x c))  = (Mul (Manual (Const c)) (Manual (Mul (Manual (Pow _x (c-1))) (Automatic x))))

Версия без рекурсивных схем выглядит следующим образом: 

derive :: Term Expr -> Term Expr
derive (In (Var))      = In (Const 1)
derive (In (Const _))  = In (Const 0)
derive (In (Plus x y)) = In (Plus (derive x) (derive y))
derive (In (Mul x y))  = In (Plus (In (Mul (derive x) y)) (In (Mul x (derive y))))
derive (In (Pow x c))  = In (Mul (In (Const c)) (In (Mul (In (Pow x (c-1))) (derive x))))

В качестве дополнения к этому вопросу, существует ли рекурсивная схема для дифференциации и исключения "пустые "Expr s, такие как Plus (Const 0) x, которые возникают в результате дифференциации - за один проход по данным?

1 Ответ

0 голосов
/ 22 мая 2018

Посмотрите на правило дифференциации для продукта: 

(u v)' = u' v + v' u

Что нужно знать, чтобы дифференцировать продукт?Вам необходимо знать производные подтермов (u', v'), а также их значения (u, v).

Это именно то, что параморфизм дает вам. 

para
  :: Functor f
  => (f (b, Term f) -> b)
  -> Term f -> b
para g (In a) = g $ (para g &&& id) <$> a

derivePara :: Term Expr -> Term Expr
derivePara = para $ In . \case
  Var -> Const 1
  Const _ -> Const 0
  Plus x y -> Plus (fst x) (fst y)
  Mul x y -> Plus
    (In $ Mul (fst x) (snd y))
    (In $ Mul (snd x) (fst y))
  Pow x c -> Mul
    (In (Const c))
    (In (Mul
      (In (Pow (snd x) (c-1)))
      (fst x)))

Внутри параморфизма fst дает вам доступ к производной от подтерма, тогда как snd дает вам сам термин.

В качестве дополнения к этому вопросу, существует ли схема рекурсии для дифференцирования и устранения «пустых» выражений, таких как Plus (Const 0) x, которые возникают в результате дифференцирования - за один проход данных?

Да, это все еще параморфизм.Самый простой способ увидеть это - иметь умные конструкторы, такие как 

plus :: Term Expr -> Term Expr -> Expr (Term Expr)
plus (In (Const 0)) (In x) = x
plus (In x) (In (Const 0)) = x
plus x y = Plus x y

и использовать их при определении алгебры.Вы могли бы также выразить это как некое слияние пара-катата.

...