Логика первого порядка - позиция квантификатора

Question

Если у вас есть оператор с →, имеет ли значение, используете ли вы квантификатор до или после импликации?

ex.утверждение «Каждый человек любит короля» (2 разных семантических интерпретации)

1. Каждый человек любит короля, и все эти короли могут отличаться друг от друга.∀x IsMan(x) → ∃y (IsKing(y) ∧ Loves(x,y))
2. Есть один царь, которого любит каждый человек.∃y, ∀x (IsKing(y) ∧ IsMan(x)) → Loves(x,y)

Для # 1 было бы одинаково правильно написать это как ∀x, ∃y, (IsMan(x) ∧ IsKing(y)) → Loves(x,y)?

А для # 2, как насчет ∃y IsKing(y) → ∀x (IsMan(x) ∧ Loves(x,y))?

Answer 1

Да, порядок квантификатора имеет значение для определения выполнимости / достоверности формулы.

Один из способов убедиться в этом - узнать, что (A → B) совпадает с (not A or B) и что (not (∀x x)) - это то же самое, что и (∃x (not x)).

. Таким образом, когда у вас есть (∃x, ∀y x → y), это то же самое, что и (∀x ∃y ((not x) or y)).

, что отличается от (∃x, x → ∀y y), который может((∀x (not x) or (∀y y)).