Полный ответ:
1. Есть ли функция, доступная в SQL?
Да, спецификация SQL 92, октябрь 97, стр. 171, раздел 6.16 определяет эти функции:
CURRENT_TIME Time of day at moment of evaluation
CURRENT_DATE Date at moment of evaluation
CURRENT_TIMESTAMP Date & Time at moment of evaluation
2. Это зависит от реализации, поэтому каждая база данных имеет свою собственную функцию для этого?
Каждая база данных имеет свои собственные реализации, но они должны реализовывать три вышеуказанные функции, если они соответствуют спецификации SQL 92 (но зависит от версии спецификации)
3. Какая функция доступна в MySQL?
NOW() returns 2009-08-05 15:13:00
CURDATE() returns 2009-08-05
CURTIME() returns 15:13:00
(Как говорит SixFootTallRabbit)