Просто верните его из вашей функции:
public function verified()
{
$new_token = str_random(10);
$this->email_token = $new_token;
$this->save();
return $new_token; // <----
}
Теперь, когда этот метод возвращает желаемое значение, вы можете получить его в любом месте:
public function verify($token)
{
$new_token = User::where('email_token',$token)->firstOrFail()->verified(); // <--
$email = new EmailAdmVerification(new User(['email_token' => $new_token,
'name' => $user->name]));
return redirect('login');
}