Что делает Юлия в исключительных точках?

Question

Я смотрю на числа некоторых матриц, которые зависят от параметра x.Матрица имеет реальные собственные значения для определенных значений x, но для других значений у меня есть вырождение как по собственным значениям, так и по собственным векторам (появление исключительных точек).

Один из самых простых примеров получения исключительной точки -с матрицей:

julia> h=[1 1im; 1im -1]
2×2 Array{Complex{Int64},2}:
1+0im   0+1im
0+1im  -1+0im

Собственные значения равны нулю, поскольку они должны быть

2-element Array{Complex{Float64},1}:
-2.22045e-16+0.0im
0.0+0.0im

Однако я хотел бы знать, почему Джулия дала мне собственные векторы:

julia> b[2][:,1]
2-element Array{Complex{Float64},1}:
-0.0-0.707107im
0.707107+0.0im     

julia> b[2][:,2]
2-element Array{Complex{Float64},1}:
0.707107+0.0im     
0.0+0.707107im

Поскольку в этом случае собственное значение равно нулю, я думаю, что на самом деле не имеет значения, что является ассоциированным собственным вектором.Но если собственные значения сливаются где-то в комплексной плоскости, действительно ли я получаю два равных собственных вектора?

Есть ли конкретный способ лечения этого случая у Юлии?

Answer 1

Ядро вашей матрицы состоит из кратных (1,i)', что вы и получаете.Поскольку матрица не является нулевой матрицей, она имеет ранг 1 и, следовательно, также имеет ранг 1, собственное пространство имеет размерность 1. Обобщенное собственное пространство является полным пространством, вы получаете A*(1,0)' = (1,i)', так что в этом базисе ((1,i)',(1,0)') линейнаяоператор имеет матрицу [[0,1],[0,0]], его жорданова нормальная форма.