У меня нет среды разработки, чтобы проверить это, но не могли бы вы вызвать GetProperty ('selectedIndex') для элемента ListBoxID? Затем из этого вы выясняете, какой ребенок выбран, и возвращаете его, используя elm.Children.
Редактировать: Сегодня утром установил среду разработки и провел некоторое тестирование. Вот фрагмент кода, который работал для меня:
HtmlElement elem = HtmlPage.Document.GetElementById("testSelect");
int index = Convert.ToInt32(elem.GetProperty("selectedIndex"));
var options = (from c in elem.Children
let he = c as HtmlElement
where he.TagName == "option"
select he).ToList();
output.Text = (string)options[index].GetProperty("innerText");
Конечно, вам придется изменить «textSelect» на имя вашего HTML-элемента выбора. Запрос linq необходим, так как свойство Children состоит из ScriptableObjects, и только около половины из них являются элементами option, которые вас интересуют.