Во-первых, вам нужно удалить выбранное »из обоих html-элементов, и вы можете рассмотреть возможность привязки опции данных к функции наблюдения, которая прослушивает изменения событий, например:
JS
new Vue({
el: '#app',
data: {
optionPicked: null
},
watch: {
optionPicked: function() {
console.log(this.optionPicked)
}
}
})
HTML
<div id="app">
<select v-model="optionPicked">
<option selected disabled>Disabled item</option>
<option value="github-value" id="1"> Github</option>
<option value="bitbucket-value" id="2"> Bitbucket</option>
</select>
</div>
JS Fiddle: https://jsfiddle.net/k0f8ugv8/
Параметры привязки формы vue также можно просмотреть по адресу: https://vuejs.org/v2/guide/forms.html