вы можете подключиться к событию window.onerror и отправить запрос на ваш сервер с подробностями.
Просто имейте в виду, что это не сработает во всех браузерах, и детали ошибки могут отличаться в зависимости от браузера. например IE может вернуть ой так полезный: «Объект не поддерживает свойство или метод», и вы задаетесь вопросом, какой объект, какое свойство? ...; -)