Создание равностороннего треугольника для заданных двух точек на плоскости - Python

Question

У меня есть две точки X = (x1,y1) и Y=(x2,y2) в декартовой плоскости.Мне нужно найти третью точку Z = (x,y) такую, чтобы эти три точки составляли равносторонний треугольник.

Я вычисляю евклидово расстояние между двумя точками, используя следующий пример кода:

def distance(points, i, j):
dx = points[i][0] - points[j][0]
dy = points[i][1] - points[j][1]
return math.sqrt(dx*dx + dy*dy)

Теоретически мне нужно приравнять расстояния XZ и YZ к XY. Это дает нам два возможных ответа, и мне они оба тоже нужны.Но у меня возникают трудности с инициализацией точки Z в моем коде.Может кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне с этим?Ниже приведен пример того, что я пытался.

L = [0, 6]  #known two points
d= distance(points, L[0], L[1])
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
newpoint = x,y   #coordintes of the third point of the triangle
f1 = distance(points, L[0], newpoint)
f2 = distance(points, L[1], newpoint)
print(nsolve((f1, f2), (x, y), (d,d)))

Но при этом возвращается следующая ошибка:

 File "/Users/*.py", line 99, in <module>
    f1 = distance(points, L[0], newpoint)

  File "/Users/*.py", line 36, in distance
    dx = points[i][0] - points[j][0]

TypeError: list indices must be integers or slices, not tuple

Answer 1

Чтобы найти третью точку равностороннего треугольника, не нужно ничего сложного, просто найдите среднюю точку между X и Y, вы знаете, что это образует прямой угол к точке Z, поэтому простосопоставьте с началом координат, умножьте на sqrt(3) (упрощение теории Пифагора для равносторонних треугольников) и поверните на 90 градусов в обоих направлениях (x,y => y,-x, x,y => -y,x) и выполните обратное отображение, например:

X, Y = (1,1), (2,1)
M = (X[0]+Y[0])/2, (X[1]+Y[1])/2            # Mid point
O = (X[0]-M[0])*3**0.5, (X[1]-M[1])*3**0.5  # Map to origin, multiply sqrt(3)

In []:
M[0]+O[1], M[1]-O[0]                        # Rotate 90 (y,-x), map back

Out[]:
(1.5, 1.8660254037844386)

In []:
M[0]-O[1], M[1]+O[0]                        # Rotate -90 (-y,x), map back

Out[]:
(1.5, 0.1339745962155614)

Вы можете сделать это в numpy:

X, Y = np.array([1,1]), np.array([2,1])
M = (X + Y) / 2
O = (X - M) * 3**0.5
t = np.array([[0, -1], [1, 0]])   # 90 degree transformation matrix

In []:
M + O @ t

Out[]:
array([1.5      , 1.8660254])

In []:
M + O @ t.T                       # the transpose gives -90

Out[]:
array([1.5      , 0.1339746])

Answer 2

Чтобы получить третью вершину, вы можете просто повернуть точку (x2, y2) на 60 градусов вокруг точки (x1, y1).Другое допустимое решение будет получено с поворотом на -60 градусов, то есть в противоположном направлении.

import math


def get_point(x1, y1, x2, y2):
    #express coordinates of the point (x2, y2) with respect to point (x1, y1)
    dx = x2 - x1
    dy = y2 - y1

    alpha = 60./180*math.pi
    #rotate the displacement vector and add the result back to the original point
    xp = x1 + math.cos( alpha)*dx + math.sin(alpha)*dy
    yp = y1 + math.sin(-alpha)*dx + math.cos(alpha)*dy

    return (xp, yp)


print(get_point(1, 1, 2, 1))
# (1.5, 0.1339745962155614)