Решить под данной группой

Question

Я создал группу (ее алгебру GF4), которая имеет 4 элемента:

OrderMat = {0, 1, lambda, lambda + 1}

И определение операции (.) С этой Матрицей, реализованной функцией:

         |   0   |   1    |   lambda   |   lambda+1   |
        ______________________________________________
       0||   0   |   0    |      0     |       0      |
       1||   0   |   1    |   lambda   |   lambda+1   |
  lambda||   0   | lambda |  lambda+1  |       1      |
lambda+1||   0   |lambda+1|     1      |     lambda   |


OPMatrix =         {{0, 0, 0, 0},
        {0, 1, lambda, lambda + 1},
        {0, lambda, lambda + 1, 1},
        {0, lambda + 1, 1, lambda}}

GF4Mult[x_, y_] := OPMatrix[[Position[OrderMat, x][[1]][[1]]]][[Position[OrderMat, y][[1]][[1]]]]

Теперь я хотел бы решить уравнения в этой группе.например:

Solve[x.lambda == 1,x]      ... x=>lambda+1

или как это:

Solve[GF4Mult[x,lambda]== 1,x]      ... x=>lambda+1

Возможно ли это?я должен использовать какую-то другую структуру, чтобы определить группу?

Answer 1

Я не знаю, является ли это хорошим способом сделать это, но он кажется ближе к тому, что вы просите, чем последние пару вещей, которые я пробовал.И он использует обозначение, которое вы выбрали, за исключением того, что Mathematica переупорядочивает лямбда + 1 на 1 + лямбда на выходе.

Сначала давайте определим ваш оператор умножения

times={{0,0,0},{0,1,0},{0,lambda,0},{0,lambda+1,0},
  {1,0,0},{1,1,1},{1,lambda,lambda},{1,lambda+1,lambda+1},
  {lambda,0,0},{lambda,1,lambda},{lambda,lambda,lambda+1},{lambda,lambda+1,1},
  {lambda+1,0,0},{lambda+1,1,lambda+1},{lambda+1,lambda,1},{lambda+1,lambda+1,lambda}};

Это именно то, что выза исключением моего сглаживания, что в вектор.

Теперь давайте покажем метод, несколько похожий на Solve, который может работать для вас.

Предположим, в качестве первого примера вы удивляетесь, есть ли лямбда+ 1 * что-то = лямбда + 1

Cases[times,{lambda+1,x_,lambda+1}]

и это показывает, что существует только одно значение, которое удовлетворяет этому, тождество.

{{1+lambda,1,1+lambda}}

Другой пример

Cases[times,{lambda+1,x_,lambda}]

дает вам

{{1+lambda,1+lambda,lambda}}

Другой пример, есть ли лямбда + 1 * что-нибудьBUTlambda + 1 = лямбда

Cases[times,{lambda+1,Except[lambda+1],lambda}]

дает вам

{}

, который показываеттакого значения нет.

Другой пример

Cases[times,{lambda+1,x_,Except[x_]}]

дает вам

{{1+lambda,1,1+lambda},{1+lambda,lambda,1},{1+lambda,1+lambda,lambda}}

Это имеет большую гибкость, поскольку вы можете иметь неизвестных в любой позиции.Но из-за этой гибкости он не просто возвращает вам одно значение.Возможно, вы можете использовать это для того, о чем вы думаете, или, возможно, вы можете придумать способы приспособить это к тому, что вы пытаетесь сделать.

Если вы хотите извлечь одно значение результата, вы можете делать что-тонапример:

 Cases[times,{lambda+1,x_,lambda}:>x]

, который будет возвращать

{1+lambda}

, который является значением или значениями x, которые удовлетворяли этому.

Проверьте это внимательно, чтобы увидеть,Вы можете найти любые ошибки, прежде чем зависеть от этого.