Я предполагаю, что вы используете второй адаптер во втором действии.Если это так, то вы можете выполнить следующие шаги
1) Так как в первом адаптере вы передаете значение через намерение, это совершенно нормально.Но когда вы запускаете второе действие, вам нужно получить значения из намерения в методе onCreate второго действия.Так как вы используете приведенный ниже код, с которым все в порядке. Но вам нужно указать код ниже в методе второго действия, как указано ниже
String name = "";
Intent intent = getIntent();
name = intent.getStringExtra("category_name");
Теперь вы получили доступ к названию категории в переменной "name".".
2) Теперь вы можете передать эту переменную name в адаптер через конструктор или через метод установки адаптера.
3) Теперь у вас есть доступзначение переменной name и теперь вы можете использовать его соответственно в своем адаптере, где вы хотите.
Надеюсь, это поможет вам.