Для запросов такого типа, когда вы не используете агрегатные функции, для которых требуется GROUP BY, вы можете использовать различные значения, например:
SELECT DISTINCT MONTHNAME(date_created) MONTH, YEAR(date_created) YEAR
FROM test_table
Таким образом, вам не нужно отключать full_group_by
ограничение
Также вы можете сделать это следующим образом:
SELECT MONTHNAME(date_created) MONTH, YEAR(date_created) YEAR
FROM test_table
GROUP BY MONTHNAME(date_created), YEAR(date_created)