Прежде всего то, как вы выполняете набор запросов, неверно, вы перебираете набор запросов с переменной person и вообще не используете переменную person.
А для вопроса используйте атрибут many=True
сериализатора.Он создаст список сериализованных предметов для вас.
вот так:
class GetDetails(APIView):
def get(self, request):
todays_date = time.strftime('%Y-%m-%d')
queryset = People.objects.filter(date = todays_date, assigned_to = 1)
return Response(ASerializer(many=True).to_representation(queryset))