Месье Лаплас придумал это уравнение.Это просто определение оператора Лапласа: сумма производных второго порядка (вы также можете видеть ее как след матрицы Гессе ).
Второе уравнение, которое вы показываете, это конечно-разностное приближение ко второй производной.Это простейшее приближение, которое вы можете сделать для дискретных (выборочных) данных.Производная определяется как наклон (уравнение из Wikipedia ):
В дискретной сетке наименьшее hравен 1. Таким образом, производная равна f(x+1)-f(x).Эта производная, поскольку она использует пиксель в x и единицу вправо, вводит сдвиг на полпикселя (т.е. вы вычисляете наклон между этими двумя пикселями).Чтобы получить производную порядка 2 nd , просто вычислите производную по результату производной:
f'(x) = f(x+1) - f(x)
f'(x+1) = f(x+2) - f(x+1)
f"(x) = f'(x+1) - f'(x)
= f(x+2) - f(x+1) - f(x+1) + f(x)
= f(x+2) - 2*f(x+1) + f(x)
Поскольку каждая производная представляет сдвиг на полпикселя, 2 Производная порядка nd заканчивается сдвигом в 1 пиксель.Таким образом, мы можем сместить вывод влево на один пиксель, что не приведет к смещению.Это приводит к последовательности f(x+1)-2*f(x)+f(x-1).
Вычисление этой производной 2-го порядка аналогично свертыванию с фильтром [1,-2,1].
Применение этого фильтра, а также его транспонирование и добавлениерезультаты, эквивалентные свертке с ядром
[ 0, 1, 0 [ 0, 0, 0 [ 0, 1, 0
1,-4, 1 = 1,-2, 1 + 0,-2, 0
0, 1, 0 ] 0, 0, 0 ] 0, 1, 0 ]