Не совсем уверен, что вы имели в виду для поиска, но способ получить URL текущей вкладки, которую использует пользователь, используя chrome.tabs.query .
Не забудьте включить разрешение 'tabs' в ваш manifest.json
...
"permissions": [
"tabs"
],
...
Также обратите внимание, что content_script не может использовать большинство API, поэтому chrome.tabs.query нужно будет выполнить либо в background_script , либо в popup_script .
Надеюсь, это немного помогло.