Пожалуйста, измените ваш код, как показано ниже:
var weatherAPI_collection = database.GetCollection<BsonDocument>("weather_API");
string json_data = webClient.DownloadString(URL);
var docs = BsonSerializer.Deserialize<List<BsonDocument>>(json_data);
weatherAPI_collection.InsertMany(docs);
Десериализация в списке зависит от ваших данных json, если данные json в массиве, тогда используйте список, иначе вы можете сделать как
var weatherAPI_collection = database.GetCollection<BsonDocument>("weather_API");
string json_data = webClient.DownloadString(URL);
var docs = BsonSerializer.Deserialize<BsonDocument>(json_data);
weatherAPI_collection.InsertOne(docs);
Вваш код, который вы пытаетесь преобразовать в BsonValue, представляющий поле в одном BsonDocument