Например, вы можете:
1. Добавить скрытые поля
<input type="search" name="q" onkeyup="updateHiddenFields()">
<input type="hidden" name="k">
и выполнить синхронизацию, используя код JS:
const updateHiddenFields = (evt) => {
document.getElementsByName('k')[0].value = document.getElementsByName('q') .[0].value
};
2. Переименование поля при нажатии кнопки:
document.getElementById('button-amazon')[0].onclick = () => document.getElementsByName('q')[0].setAttribute('name', 'k');
(добавьте id="button-amazon"
к кнопке Amazon, чтобы это работало.)