В этом ответе я предполагаю, что вы говорите о filter на Set (ситуация кажется более запутанной для других типов данных).
Давайте сначала исправим то, о чем мы говорим.Я конкретно расскажу о следующей функции (в Scala):
def filter[A](p: A => Boolean): Set[A] => Set[A] =
s => s filter p
Когда мы запишем ее таким образом, мы ясно увидим, что это полиморфная функция с параметром типа A, которая отображает предикаты A => Booleanфункциям, которые отображают Set[A] на другие Set[A].Чтобы сделать его «морфизмом», нам нужно было бы сначала найти несколько категорий, в которых эта вещь могла бы быть «морфизмом».Можно было бы надеяться, что это естественное преобразование и, следовательно, морфизм в категории эндофункторов в «стандартной по умолчанию эмбиентной структуре категории», обычно называемой «Hask» (или «Scal»? «Scala»?).Чтобы показать, что это естественно, мы должны были бы проверить, что следующая диаграмма коммутирует для каждого f: B => A:
- o f
Hom[A, Boolean] ---------------------> Hom[B, Boolean]
| |
| |
| |
| filter[A] | filter[B]
| |
V ??? V
Hom[Set[A], Set[A]] ---------------> Hom[Set[B], Set[B]]
однако, здесь мы немедленно терпим неудачу, потому что не ясно, что даже положить на горизонтальную стрелкувнизу, поскольку присваивание A -> Hom[Set[A], Set[A]] даже не кажется функторным (по тем же причинам, почему A -> End[A] не является функторным, см. здесь , а также здесь ).
Единственная "категориальная" структура, которую я вижу здесь для fixed type A, заключается в следующем:
- Предикаты на
A можно считатьчастично упорядоченный набор с подтекстом, то есть p LEQ q, если p подразумевает q (то есть либо p(x) должно быть ложным, либо q(x) должно быть истинным для всех x: A). - Аналогично, для функций
Set[A] => Set[A] мы можем определить частичный порядок с помощью f LEQ g всякий раз, когда для каждого набора s: Set[A] утверждается, что f(s) является подмножеством g(s).
Тогда filter[A] будет монотонным и, следовательно, функтором между категориями poset.Но это немного скучно.
Конечно, для каждого фиксированного A оно (или, скорее, его eta-расширение) также является просто функцией от A => Boolean до Set[A] => Set[A], так что это автоматически "морфизм" в "Hask -category».Но это еще скучнее.