Я ищу решение этой проблемы, и в настоящее время невозможно поддерживать всплывающее окно всегда активным.
Может быть, это может помочь создать новое окно при открытии всплывающего окна, что-то вроде этого.
В файле popup.html вы должны загрузить этот скрипт.
const popupWindow = window.open(
chrome.extension.getURL("popup_window.html"),
"exampleName",
"width=300,height=300");
window.close();
Затем вы должны поместить содержимое вашего всплывающего окна в файл popup_windows.html
Iнадеюсь, это поможет вам.