Вы заменяете свое изображение тем же самым изображением, которое вы используете дважды в операторе if, а не в if, сделайте это вместо
var image_tracker="f"
function change() {
var image=document.getElementById('social');
if (image_tracker=="f") {
image.src="twit.jpg"
image_tracker="t"
image.alt='twit'
}
else if (image_tracker=="t") {
image.src="fb.jpeg"
image_tracker="f"
image.alt='fbk'
}
}
<img src="fb.jpeg" id="social" onclick="change()" alt='fbk'>