Как изменить контроллер по умолчанию сгенерированного модуля DefaultController на другой контроллер
'modules' => [ 'product' => [ 'class' => 'backend\modules\product\product', ], ],
Вы должны использовать defaultRoute свойство, например:
'modules' => [ 'product' => [ 'class' => 'backend\modules\product\product', 'defaultRoute' => 'your-controller' ], ],