Как можно сохранить информацию формы HTML при нажатии кнопки «Назад»? Это поведение HTML или браузера по умолчанию? Или это зависит от браузера?
Это поведение браузера по умолчанию, но ТОЛЬКО если страница, содержащая форму, может кэшироваться, например заголовки установлены так, что браузеру разрешено его кэшировать.
Как форма SO запоминает предыдущие входные значения?
Это не поведение браузера, это зависит от используемой вами технологии / фреймворка