Вы выбираете из tbl_veterinary_client, который имеет 3 строки.И вы просматриваете 3 строки на странице.Вам нужно изменить ваш выбор SQL с различными полями из таблицы клиента.Например,
SELECT distinct c.client_id, c.client_first_name, c.client_last_name...
FROM tbl_clients c
INNER JOIN tbl_veteranary_client vc ON ...
или добавить таблицу tbl_veteranary_client, где условие
SELECT c.*
FROM tbl_clients c
WHERE (c.client_first_name LIKE '%$search_client%'
OR c.client_id LIKE '%{$search_client}%'
....) AND c.client_id in (SELECT client_id FROM tbl_veteranary_client WHERE vet_id='{$vet_id}' )