Каждая отправленная форма будет обрабатываться отдельно, возможно, многие параллельно. В зависимости от вашего приложения это может или не может испортить данные на стороне сервера. Сценарий на стороне сервера может прекратить обработку, если HTTP-соединение будет сброшено (после повторного нажатия кнопки «Отправить» первый запрос отменяется и отправляется новый запрос).
Чтобы избежать проблем с несколькими отправками, вы можете, например, отправить уникальный идентификатор с формой, которая будет проверена на сервере и может использоваться только один раз. Или вы можете установить флаг "уже обрабатывает" в сеансе пользователя. Или вы можете работать с очередями заданий и проверять, существует ли уже задание для пользователя. Особенности будут зависеть от вашего приложения.
Re: «Есть ли проблемы на стороне клиента? Например, когда веб-сервер отправляет два ответа?»
Каждый раз, когда ваш браузер отправляет запрос, он устанавливает соединение с сервером, на котором он будет ожидать ответа. Новый запрос, новое соединение. Когда вы нажимаете кнопку отправки еще раз, первое соединение прерывается и устанавливается новое (это также точка, на которой сервер обычно прекращает обработку старого запроса). Вот почему вы можете загружать несколько страниц одного и того же сайта в браузер одновременно, и не будет запутано, какой ответ предназначен для перехода на какую вкладку.