Если вы получаете ответ json, попробуйте это:
$.ajax({
type: "POST",
url: "includes/get_city.php",
data: {
state: selectedState
},
dataType: "json"
}).done(function(data) {
$.each(JSON.parse(data), function () {
$('#city').append('<option value="'+data.id+'">'+data.name+'</option>');
});
});
этот код
$('#city' > option).each(data, function(index, value)
не будет работать, потому что не добавляет "опции", но ищет существующие
Вы также можете отладить его из Chrome (нажмите F12), чтобы проверить, есть ли у вас синтаксическая ошибка или что-то еще