В Laravel 5.5 (я думаю) ответ JSON на ошибки валидации изменился с простого объекта ошибок на объект, содержащий ошибки и одно сообщение.Таким образом, чтобы получить доступ к сообщениям об ошибках в ответе, вам действительно нужно сделать:
this.errors.record(error.response.data.errors)
Я бы посоветовал, если у вас его еще нет, получить Vue Devtools аддон/ extension, чтобы помочь вам отладить ваш код и просто посмотреть, что происходит в целом.
Наконец, просто к сведению, Spatie некоторое время назад создал пакет (на основе урока Джеффа).Вы могли бы использовать его в качестве ориентира, если вы просто проходите уроки и хотите создать его самостоятельно.
Пространство - Проверка формы бэкэнда