Итак, сначала «как» заставить его работать:
Мне нужно было установить атрибут «v-model» для моего элемента (я назвал его «inputField»), а затем инициализировать его как пустойв свойствах данных компонента, а затем в моих методах компонента addInput, я должен был установить "this.inputField = ''" вместо "input.value = ''".
Для иллюстрации:

Итак, это работает.Вот результат: 
Теперь остается только вопрос, как именно все это работает, и почему метод, который работал для обычного HTML, не удался?Я не уверен, и я бы приветствовал объяснение / образование от любого, кто может объяснить!
Vue DevTools для Chrome , кажется, дает подсказку: 
«Mdclearable» кажется интуитивно связанным;это свойство имеет значение false.Это как-то связано с этим?Я не уверен.
Изучение V-модели Vue и реактивности также помогло решить эту проблему.
Опять же, дополнительные комментарии приветствуются, чтобы помочь выяснить, что здесь происходит!И я надеюсь, что эти вопросы и ответы помогут кому-то еще избежать некоторых разочарований в будущем.