Websockets продолжает прислушиваться к любому обновлению, поэтому хорошее место для его инициализации было бы в componentDidMount из компонента.Следующий шаг, поскольку вы используете redux, вам нужно отправить действие, которое обновляет состояние вашего приложения.
Для части обработки логики websocket я предлагаю вам использовать библиотеку для такого рода целей, которые вы не делаетехочу изобрести колесо здесь.Просто выполнив поиск по слову «реакция веб-сокета», вы найдете несколько вариантов.