В вашем фоновом / контентном / всплывающем скрипте добавьте browser.runtime.sendMessage("your message")
от того места, куда вы хотите отправить сообщение.
Добавьте приведенный ниже код в скрипт, откуда вы хотите прослушать сообщение.
browser.runtime.onMessage.addListener(handleMessage)
function handleMessage(request, sender, sendResponse){
console.log(request); //logs "your message"
}