Для этого вам нужно обработать событие onHeadersReceived в вашем background.js.Вы можете ссылаться на документацию здесь .
browser.webRequest.onHeadersReceived.addListener(function(details){
if(!details.initiator)
{
alert(details.url+" "+details.statusCode);
}
},
{
urls: ["<all_urls>"]
},
["responseHeaders", "blocking"]);
В вашем файле manifest.json необходимо добавить
"permissions": ["webRequest","webRequestBlocking","<all_urls>"],