Похоже, вам просто не хватает пустого массива задач.(и проблема с вложенным вложением, упомянутая Роем)
если вы определите его для каждого объекта, вы разрешите его перемещение.
Обновлен фрагмент кода для исходного примера jsfiddle
<script type="text/x-template" id="template-drag">
<draggable :element="'ul'" :list="tasks" class="draggable" :options="{group:{ name:'group'}}">
<template v-for="el in children" :key="el.name">
<p>{{el.name}}</p>
<element-type :attrs="el"><draggable-nested :children="el.children"/></element-type>
</template>
</draggable>
</script>