Да, это возможно, если пользователь доверяет вам достаточно, чтобы хранить свои пароли Gmail с вами.
Для этого вам необходимо сохранить свое имя пользователя и пароль (пароль конкретного приложения, если он включен)и получить их количество / количество почтовых / непрочитанных сообщений и т. д., используя функции серверной технологии, и отобразить их клиенту.