Упрощение выражений с участием абстрактных производных в максимумах

Question

Я пытаюсь заставить maxima выполнить некоторые "абстрактные" расширения серии Тейлора, и я столкнулся с проблемой упрощения.Прототипом проблемы может быть конечно-разностный аналог градиента

g(x1,dx1) := (f(x1+dx1) - f(x1))/dx1;  /* dx1 is small */
taylor(g(x1,dx1), [dx1], [0], 0);

, для которого maxima возвращает

Пока все хорошо.Но теперь попробуйте конечно-разностный аналог второй производной (гессиана)

h(x1,dx1) := (f(x1+dx1) - 2*f(x1) + f(x1-dx1))/dx1^2;
taylor(h(x1,dx1), dx1, 0, 0);

, для которого я получаю

что не так полезно.

Прототип "реальной" проблемы, которую я хочу решить, состоит в том, чтобы вычислить ошибки низкого порядка в приближении конечных разностей до ∂^2 f/(∂x1 ∂x2),

(f(x1+dx1, x2+dx2) - f(x1+dx1, x2) - f(x1, x2+dx2) + f(x1, x2))/(dx1*dx2)

и собрать условия до второго порядка (который включает до 4-х производных от f).Я подозреваю, что без достаточно эффективного упрощения это будет легче сделать вручную, чем компьютерной алгеброй, поэтому мне интересно, что можно сделать, чтобы убедить maxima сделать для меня упрощение.

Answer 1

Рассмотрим этот пример.Он использует пакет pdiff Бартона Уиллиса.Я немного упростил нотацию: переместил центр на [0, 0] и ввел нотацию для частных производных.

(%i1) load("pdiff") $
(%i2) matchdeclare([n, m], integerp) $
(%i3) tellsimpafter(f(0, 0), 'f00) $
(%i4) tellsimpafter(pderivop(f,n,m)(0,0), concat('f, n, m)) $
(%i5) e: (f(dx, dy) - f(dx, -dy) - f(-dx, dy) + f(-dx, -dy))/(4*dx*dy)$
(%i6) taylor(e, [dx, dy], [0, 0], 3);
                                    2         2
                              f31 dx  + f13 dy
(%o6)/T/                f11 + ----------------- + . . .
                                      6