Вы можете использовать что-то вроде этого
<div className={"navlines " + (this.props.showHamburgerMenu ? 'open' : 'close')}>
Когда значение showHamburgerMenu равно true, открытый класс будет добавлен, в противном случае будет доступен закрытый класс.
Вы можете использовать либо изреквизиты или из состояния, т.е.
<div className={"navlines " + (this.state.showHamburgerMenu ? 'open' : 'close')}>
На основании какого-либо щелчка или действия пользователя вы можете установить для состояния showHamburgerMenu значение true.
fiddle https://jsfiddle.net/jbh1qgzu/1/