Поскольку расширение chrome - это всего лишь html / css / js - для отправки веб-запросов вы можете использовать те же приемы, что и на обычных веб-сайтах.Например, Получить API или XHR .
От того, куда звонить, зависит только от вас.Если вы хотите кэшировать фоновую страницу результатов, может быть лучше, но тогда вам нужно будет использовать message для передачи данных с фоновой страницы на всплывающую страницу.В противном случае вы можете вызвать ваш API прямо из всплывающего скрипта.
В любом случае у вас могут возникнуть проблемы с CORS при работе с API, размещенным на localhost (это известное ограничение chrome).На обычной странице вы можете использовать одно из многих расширений, которые автоматически добавляют заголовки CORS ко всем запросам, но я не уверен, что они будут работать с запросами от расширений.