Посмотрите на параметр -u :
docker exec -it -u $another_user myapp bash
РЕДАКТИРОВАТЬ : , "other_user" должен существовать вконтейнер.
EDIT2 (с помощью Дэвида Мэйза): в контейнере должен существовать «другой_пользователь», но вы можете использовать любой идентификатор: 1234, 7711,и т. д. (не нужно существовать!)