Я считаю, что в Framework ничего нет. Вы можете сделать это с Win32, хотя. Посмотрите на SetClipboardViewer
в User32.dll:
[DllImport("User32.dll", CharSet=CharSet.Auto)]
public static extern IntPtr SetClipboardViewer(IntPtr hWndNewViewer);
Это немного запутано. Это не прямое уведомление, а цепочка сообщений; вам нужно будет передать уведомление следующему получателю.
В этой статье есть хорошее описание необходимых шагов.