Глядя на их документацию, вы можете предоставить собственный шаблон для всплывающей подсказки.Это позволит вам добавить определенный класс, на который вы можете настроить таргетинг с помощью CSS.
const options = {
template: '<div class="tooltip red" role="tooltip"><div class="arrow"></div><div class="tooltip-inner"></div></div>'
}
Затем передать параметры при инициализации всплывающей подсказки: $('#example').tooltip(options)
Подробнее о параметрах конфигурации можно прочитать в документации Bootstrap