Да, если вы установите значение автообновления равным CURRENT_TIMESTAMP, оно всегда будет обновляться независимо от того, какие столбцы вы обновили. Вам не нужно указывать поле и устанавливать его на CURRENT_TIMESTAMP, так как оно сделает это самостоятельно.
Имейте в виду, что нельзя иметь один столбец со значением по умолчанию CURRENT_TIMESTAMP и другой столбец со значением автообновления CURRENT_TIMESTAMP.
Подробнее в документации по MySQL здесь .