Не используйте массив в качестве имени радио.Радиокнопка должна иметь одно значение.
<label class="radio-inline">
<input type="radio" name="answer" value="{{ $questionOption->id }}">{{ $questionOption->option_one }} <!-- option name? -->
</label>
А в $request->answer
вы выбрали опцию id.