Если вы отправляете форму на той же странице методом POST, то приведенный ниже код решит вашу проблему
<select name="staff" required>
<option value="">Select Staff</option>
<?php
$query_subject = mysql_query("SELECT * from staffdet");
while($row_subject = mysql_fetch_array($query_subject)) {
?>
<option value="<?php echo $row_subject['staff_code'];?>" <?php if(!empty($_POST['staff']) && $_POST['staff']==$row_subject['staff_code']){echo 'selected="selected"';}?>>
<?php echo $row_subject['staff_code']."-".$row_subject['staff_name'];?>
</option>
<?php } ?>