Свойство, о котором вы говорите, относится к серверу и не присутствует в Javascript. По сути, все, что ASP.NET делает на сервере, генерирует одну HTML-страницу, содержащую кучу HTML-тегов. Браузер вообще не знает, что пользовательский элемент управления является единым целым.
Вы должны рассчитать свойство на клиенте, посмотрев идентификатор раскрывающегося списка прямо в Javascript. Вы можете узнать идентификатор клиента раскрывающегося списка, получив его свойство ClientID
.