Значение вашей кнопки не отправлено, потому что оно не считается частью формы (из-за нахождения вне тегов <form>...</form>
).
В качестве альтернативы ответ Джека это один из правильных способов сделать это, если по какой-то причине вы не хотите перемещать кнопку внутри формы, тогда в HTML5 у вас есть еще один вариант - связать кнопку с формой через атрибут.Это позволяет рассматривать кнопку как часть формы, несмотря на то, что она находится за пределами тегов.
В качестве дополнительного бонуса после того, как кнопка становится частью формы, вам не требуется JavaScript для ее работы -она автоматически будет считаться кнопкой «отправить».
<!doctype html>
<html>
<head>
<title>Test</title>
</head>
<body>
<form method="get" action="#" id="test-form">
<input type="text" name="example" />
</form>
<button name="page" value="2" form="test-form">2</button>
</script>
</body>
<html>
См. Атрибут "form", обсуждаемый в документации: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/HTML/Element/button