Попробуйте изменить первую строку на:
<select (change)="addChild($event)">
Это должно сработать.
Вам также может быть удобно печатать строки вместо полных объектов там, где это ожидается:
<option *ngFor="let child of menuItem.children" [value]="child.id">
и, возможно, (или, возможно, нет):
<select (ngModelChange)="addChild(child.id)">
, если это работает лучше для вас, и у вас, конечно, есть подходящая недвижимость.YMMV.