Одно решение будет сравнивать оригинал с новым массивом, возвращаемым из метода.
String[] original = {"The", "quick", "Brown", "fox", "jumps", "over", "the", "lazy", "dog"};
String[] mixed = mixArray(original);
ArrayList<String> sameOrder = new ArrayList<>();
int wordsInTheSameOrder = 0;
for(int i = 0; i < original.length; i++) {
if(original[i].equals(mixed[i])) {
sameOrder.add(original[i]);
wordsInTheSameOrder++;
}
}