Область сеанса между браузерами невозможна. Сессии идентифицируются токеном, который сначала должен быть передан пользователю, а затем возвращен браузером в той или иной форме. Обычно это делается с помощью файлов cookie, хотя это также можно сделать, добавив токен к URL-адресам, когда посетитель просматривает сайт.
Поскольку веб-браузеры представляют собой отдельные части программного обеспечения со своими собственными методами обработки файлов cookie, вы не можете совместно использовать файлы cookie между браузерами и, следовательно, не можете совместно использовать сеансы на основе файлов cookie. Можно скопировать и вставить URL-адрес с веб-сайта, содержащего токен сеанса, в другой браузер и продолжить сеанс там, но большинство сайтов используют файлы cookie, поэтому это не часто возможно, и, конечно, это не позволяет Вы хотели бы сделать.
То, что вы спрашиваете, обычно считается невозможным, но обычно это не проблема. С положительной стороны, это также процесс, обычно понимаемый большинством пользователей. Пользователи не ожидают входа на сайт с одним браузером, а затем загружают другой и продолжают входить в систему.