Это проблема на стороне клиента. Хотя нет никакого способа заставить браузер кэшировать ввод textarea, вы можете при желании отправить данные обратно сами, используя куки. Одним из простых способов сделать это было бы сохранить введенные текстовые данные в файлах cookie при отправке формы, а затем проверить файлы cookie и вставить значения в источник страницы при последующих запросах к серверу.
Проверьте эту страницу для получения информации о настройке файлов cookie и эту , чтобы узнать, как получить доступ к информации при следующем обращении к вашей форме.