Да, вы можете просто скопировать файл cookie .ASPXAUTH из вашего текущего объекта Request
в WebClient
РЕДАКТИРОВАТЬ: Я сам на самом деле не пробовал, поэтому, возможно, файл cookie .ASPXAUTH удален из объекта Request по соображениям безопасности.
Но так как у вас есть доступ к ключу машины, вы можете создавать свои собственные куки на лету. Вот код, который должен это сделать (я не могу найти проект, где я на самом деле это сделал)
var ticket = new FormsAuthenticationTicket(User.Identity.Name, true, 5);
string aspxAuthCookieValue = FormsAuthentication.Encrypt(ticket);
Этот код создает cookie для проверки подлинности форм для вашего текущего имени пользователя и сроком действия 5 минут.